La esfera

En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.
Volumen



Datos para hallar el área y volumen de la esfera respecto del cilindro circunscrito.
El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:


donde V es el volumen de la esfera y r el radio.
Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.
Área

Arquímedes también demostró que el área de la esfera es también dos tercios respecto al del cilindro, entonces:




El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto a r.


Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Secciones



Sección de una esfera por un plano.
La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:



Intersección de esferas.
Por otra parte, dos esferas se intersecan si:

y

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
el medio perímetro.
Coordenadas sobre la esfera

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.

Los dos orígenes angulares de las coordenadas esféricas
Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ.
Determinación de los puntos mediante ángulos
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.
En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este.
Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán:

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las coordenadas esféricas:

Generalizaciones de la esfera

Esferas en dimensiones superiores
Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n dimensiones:

Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ..., cn):

El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n. Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:
Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Volumen 2r πr2 4πr3
3 π2r4
2 8π2r5
15 π3r6
6 16π3r7
105 π4r8
24 32π4r9
945 π5r10
120
Superficie 2 2πr 4πr2 2π2r3 8π2r4
3 π3r5 16π3r6
15 π4r7
3 32π4r8
105 π5r9
12
El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7.
Derivación de las ecuaciones de movimientoDesplegar


Existe la posibilidad de representar una n-esfera o hiperesfera de n dimensiones como fibrado de otra hiperesfera de dimensión inferior. Esto sólo sucede en tres casos:
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números complejos.
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números cuaterniónicos.
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números octoniónicos.
Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.1

Esferas en otras métricas

La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro a y de radio r es el conjunto , y la bola correspondiente es .

Para no ser demasiado general, restrinjámonos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.
Para un vector u(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes:
||u||1 = |x| + |y| + |z|. S(O,1) es un octaedro regular (figura a la derecha).
||u||2 = √(x² + y² + z²). Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.
||u||3 = ³√(|x|³ + |y|³ + |z|³). S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la izquierda). ||u||∞ = max(|x|,|y|,|z|). S(0,1) es un cubo.
Esferas en topología

Cabe tener presente que el concepto geométrico y el concepto topológico de "n-esfera" no coinciden. En geometría, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .2